《数学广角》应用题专项训练
一、基础题型
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植树问题
小明家有一块长方形的菜地,长20米,宽15米。小明计划在菜地周围种树,每隔3米种一棵树。请问小明需要准备多少棵树苗? -
鸡兔同笼
一个笼子里有若干只鸡和兔子,总共有30个头,84条腿。请问笼子里有多少只鸡和多少只兔子? -
邮票问题
小华有1元、2元和5元的邮票各若干张,他一共用了15张邮票,总价值为37元。请问每种邮票各用了多少张? -
分配问题
一个班有48名学生,老师要将这些学生分成若干组,每组人数相同,且每组人数不少于6人。请问最多可以分成几组?最少可以分成几组? -
时间问题
一辆汽车从甲地开往乙地,全程120公里,前半程的速度是60公里/小时,后半程的速度是40公里/小时。请问这辆汽车从甲地到乙地共需要多少时间?
二、提高题型
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图形分割
一块正方形的草坪,边长为12米。现在要用一条直线将其分成两个面积相等的部分。请问这条直线可以有多少种不同的画法? -
数列问题
有一串数字:1, 3, 6, 10, 15, …。请找出第10项的值,并说明规律。 -
逻辑推理
有三个盒子,分别标有“红球”、“蓝球”和“红球或蓝球”。已知每个盒子里的标签都是错的。请你只打开一个盒子,确定所有盒子的内容。 -
比例问题
一个水池里有120升水,每天流出[1/3]的水,同时每天又流入[1/4]的水。请问经过几天后,水池里的水会变成原来的[1/2]? -
行程问题
甲、乙两人从A地同时出发,甲以每小时6公里的速度步行,乙以每小时12公里的速度骑自行车。乙到达B地后立即返回,在距离B地12公里的地方与甲相遇。请问A地和B地之间的距离是多少?
三、综合题型
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组合问题
一个篮球队有10名队员,其中5名队员是前锋,3名队员是后卫,2名队员是中锋。现在要选出5名队员组成一个比赛阵容,要求至少包含2名前锋和1名中锋。请问有多少种不同的选法? -
概率问题
一个袋子里有5个红球和3个蓝球。从中随机取出3个球,求取出的3个球中恰好有2个红球的概率。 -
几何问题
一个直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米。在这个三角形内画一个最大的正方形,使正方形的一边在斜边上。求这个正方形的面积。 -
方程问题
某工厂生产两种产品A和B,每生产1个A产品需要2小时,每生产1个B产品需要3小时。工厂每天工作8小时,且每天至少生产10个产品。请问工厂每天最多能生产多少个B产品? -
优化问题
一个农民有100米的篱笆,用来围成一个矩形的菜园。为了使菜园的面积最大,矩形的长和宽应该是多少?最大面积是多少?
答案
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植树问题
菜地周长 = (20 + 15) × 2 = 70米
需要的树苗数量 = 70 ÷ 3 ≈ 23棵(最后一个间隔不足3米) -
鸡兔同笼
设鸡的数量为x,兔子的数量为y。
x + y = 30
2x + 4y = 84
解得:x = 18,y = 12 -
邮票问题
设1元、2元和5元的邮票分别为x、y、z张。
x + y + z = 15
x + 2y + 5z = 37
解得:x = 5,y = 3,z = 7 -
分配问题
最多可以分成8组(每组6人),最少可以分成6组(每组8人) -
时间问题
前半程时间 = 60 ÷ 60 = 1小时
后半程时间 = 60 ÷ 40 = 1.5小时
总时间 = 1 + 1.5 = 2.5小时 -
图形分割
可以有无数种不同的画法,因为对角线也可以平分正方形的面积 -
数列问题
规律:第n项 = [n(n+1)/2] 第10项 = [10(10+1)/2] = 55 -
逻辑推理
打开标有“红球或蓝球”的盒子,假设里面是红球,则“红球”盒子里面是蓝球,“蓝球”盒子里面是红球或蓝球。假设里面是蓝球,则“蓝球”盒子里面是红球,“红球”盒子里面是红球或蓝球。 -
比例问题
每天水池的水量变化为:120 – [120/3] + [120/4] = 120 – 40 + 30 = 110升
每天减少10升,120 ÷ 2 = 60升,需要6天 -
行程问题
设A地和B地之间的距离为x公里。
甲行走了(x – 12)公里,乙行走了(2x – 12)公里。
时间相同:(x – 12) / 6 = (2x – 12) / 12
解得:x = 24公里 -
组合问题
选2名前锋和1名中锋的方法数 = C(5, 2) × C(2, 1) = 10 × 2 = 20
选3名前锋和1名中锋的方法数 = C(5, 3) × C(2, 1) = 10 × 2 = 20
选2名前锋和2名后卫的方法数 = C(5, 2) × C(3, 2) = 10 × 3 = 30
总方法数 = 20 + 20 + 30 = 70 -
概率问题
总方法数 = C(8, 3) = 56
选2个红球和1个蓝球的方法数 = C(5, 2) × C(3, 1) = 10 × 3 = 30
概率 = 30 / 56 = [15/28] -
几何问题
设正方形的边长为a。
斜边长度 = √(6² + 8²) = 10厘米
正方形的一个顶点在直角顶点,另两个顶点分别在两条直角边上,第四个顶点在斜边上。
6 – a + 8 – a = 10
解得:a = 4厘米
正方形的面积 = 4² = 16平方厘米 -
方程问题
设生产A产品的数量为x,B产品的数量为y。
2x + 3y ≤ 8
x + y ≥ 10
当x = 2时,2(2) + 3y ≤ 8,解得y ≤ 2
当x = 3时,2(3) + 3y ≤ 8,无解
当x = 4时,2(4) + 3y ≤ 8,无解
当x = 5时,2(5) + 3y ≤ 8,无解
最多生产2个B产品 -
优化问题
设矩形的长为x米,宽为y米。
2x + 2y = 100
y = 50 – x
面积S = x(50 – x) = 50x – x²
求导:dS/dx = 50 – 2x = 0
解得:x = 25,y = 25
最大面积 = 25 × 25 = 625平方米