小学抽屉原理的常见题型主要有以下几种,包含题型思路介绍,最后附带一套试题,包含答案解析。
一、物品分配问题
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若干个苹果放到若干个抽屉里,求至少有一个抽屉里放几个苹果的问题。
- 例如:把 7 个苹果放进 3 个抽屉,总有一个抽屉里至少放几个苹果?
- 解答思路:用苹果数除以抽屉数,7÷3 = 2……1,平均每个抽屉放 2 个后还余 1 个,所以总有一个抽屉里至少放 2 + 1 = 3 个苹果。
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有不同颜色的球若干,放到几个抽屉里,求至少有一个抽屉里某种颜色球的个数问题。
- 例如:有红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个,放进 4 个抽屉,至少有一个抽屉里放几个球才能保证有 3 个颜色相同的球?
- 解答思路:最不利的情况是每个抽屉都有 2 个颜色相同的球,此时再多放一个球,无论放到哪个抽屉,都能保证有一个抽屉有 3 个颜色相同的球。所以(3 – 1)×3 + 1 = 7,即至少有一个抽屉里放 7 个球。
二、数的整除问题
- 给定若干个数,证明其中一定存在几个数的和或差能被某个数整除。
- 例如:任意给出 5 个自然数,证明其中一定有 3 个数的和能被 3 整除。
- 解答思路:一个数除以 3 的余数只有 0、1、2 三种情况。把这三种情况看作三个抽屉,5 个自然数看作 5 个苹果,放入三个抽屉,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有 2 个或以上的数。若余数为 0 的抽屉有三个数,它们的和能被 3 整除;若余数为 0 的抽屉有一个数,而余数为 1 和余数为 2 的抽屉各有两个数,把这两组中的数分别取出一个与余数为 0 的数相加,和也能被 3 整除。
三、生日问题
- 在一定人数中,求至少有几个人生日在同一个月。
- 例如:有 37 个人,至少有几个人生日在同一个月?
- 解答思路:一年有 12 个月,把 12 个月看作 12 个抽屉,37 个人看作 37 个苹果。37÷12 = 3……1,所以至少有 3 + 1 = 4 个人生日在同一个月。
四、座位问题
- 一定数量的人坐在若干个座位上,求至少有几个座位上坐的人数相同。
- 例如:有 100 个人坐在若干个座位上,每个座位最多坐 4 人,至少有几个座位上坐的人数相同?
- 解答思路:从坐 1 人到坐 4 人,一共 4 种情况,看作 4 个抽屉。100÷4 = 25,平均分配的话,每种情况 25 次,所以至少有 25 个座位上坐的人数相同。但实际上,由于人数是整数,可能会有一些情况的数量多于 25,所以答案可能大于 25。具体情况要根据实际的分配方式来确定,但根据抽屉原理,至少有 25 个座位上坐的人数相同是可以确定的最小值。
测试题:
一、物品分配问题
- 把 8 个橘子放进 4 个篮子,总有一个篮子里至少放几个橘子?
- 有红、黄、绿三种颜色的卡片各 6 张,放进 5 个盒子,至少有一个盒子里放几张卡片才能保证有 4 张颜色相同的卡片?
二、数的整除问题
- 任意给出 6 个自然数,证明其中一定有 4 个数的和能被 4 整除。
- 有七个不同的整数,证明其中一定存在三个整数,它们的和或差能被 3 整除。
三、生日问题
- 有 43 个人,至少有几个人生日在同一个月?
- 有 50 个人参加聚会,问至少有几个人生日在同一个星期(一年有 52 个星期)?
四、座位问题
- 有 120 个人坐在若干个座位上,每个座位最多坐 5 人,至少有几个座位上坐的人数相同?
- 有 150 个人坐在不同的座位上,座位分为三种类型,分别可坐 3 人、4 人、5 人,至少有几个座位上坐的人数相同类型(即都是坐 3 人、都是坐 4 人或都是坐 5 人)?
以下是答案解析:
一、物品分配问题
- 8÷4 = 2,平均每个篮子放 2 个橘子,此时若再增加一个橘子,无论放到哪个篮子,都会使得总有一个篮子里至少有 3 个橘子。
- 最不利的情况是每个盒子都有 3 张颜色相同的卡片,此时再多一张卡片,无论放到哪个盒子,都能保证有一个盒子有 4 张颜色相同的卡片。所以(4 – 1)×3 + 1 = 10,即至少有一个盒子里放 10 张卡片。
二、数的整除问题
- 一个数除以 4 的余数有 0、1、2、3 四种情况。把这四种情况看作四个抽屉,6 个自然数看作 6 个苹果。6÷4 = 1……2,说明平均每个抽屉放 1 个后还余 2 个。把这两个再放入抽屉,必然会使得某个抽屉至少有 2 个苹果,也就是会有四个数的余数情况相同或能凑成余数为 0 的情况,所以一定有 4 个数的和能被 4 整除。
- 一个数除以 3 的余数有 0、1、2 三种情况。把这三种情况看作三个抽屉,七个不同整数看作七个苹果。7÷3 = 2……1,说明平均每个抽屉放 2 个后还余 1 个。所以必然会有一个抽屉至少有 3 个苹果,即存在三个整数的余数情况相同或能凑成余数为 0 的情况,所以它们的和或差能被 3 整除。
三、生日问题
- 一年有 12 个月,43÷12 = 3……7,所以至少有 4 个人生日在同一个月。
- 50÷52 = 0……50,说明平均每个星期分配不到 1 个人,但由于人数是整数,所以至少有 2 个人生日在同一个星期。
四、座位问题
- 从坐 1 人到坐 5 人,一共 5 种情况,看作 5 个抽屉。120÷5 = 24,平均分配的话,每种情况 24 次,所以至少有 24 个座位上坐的人数相同。
- 150 个人分配到三种类型的座位上,150÷3 = 50,平均分配的话,每种类型的座位有 50 个人坐。但实际上可能会有偏差,不过根据抽屉原理,至少有 50 个座位上坐的人数相同类型是可以确定的最小值。